دامنه‌ی محتوایی ریاضی و ملاکهای دستیابی به اهداف ریاضی (پیش تا شش)
مقدمه
اولین ویرایش سند ریاضی پیش‌دبستان و دبستان مفید در سال ۱۴۰۰ به چاپ رسید. منبع اصلی این سند، سند مبانی و استانداردهای ریاضی مدرسه‌ای بوده است. سند یاد شده پس از مطابقت با کتابهای درسی دوره دبستان و بهره گرفتن از تجربیات معلمان دبستان‌های مفید، به سندی قابل استفاده برای معلمان تبدیل شده است. این سند شامل مثال‌های واقعی از کلاس‌های دورهی دبستان است و در آن فضای کلی کلاس ریاضی و فرآیندهایی که باید در کلاس ریاضی اتفاق بیفتد، به صورتی توصیفی بیان شده است.
این سند، برای حمایت همه جانبه از یادگیری دانشآموزان به پیوست‌های زیادی نیاز دارد. از جمله پیوست‌های مورد نظر میتوان به این پیوست‌ها اشاره کرد:
روال‌های معلمی در کلاس ریاضی
اهداف هر پایه و ملاکهای رسیدن به اهداف در حوزههای محتوایی
نمونه‌هایی از طرح‌های یادگیریِ یاریبخش، برای رسیدن به اهداف
منابعی شامل فعالیت‌های ارزشمند و کتابهای داستانی که میتوان از آنها در مسیر یادگیری استفاده کرد
این پیوست‌ها و پیوست‌هایی دیگر کم و بیش در حال تدوین هستند و به صورت غیر کاغذی منتشر می‌شوند. در نوشته‌ی حاضر که به نوعی پیوست سند ریاضی پیش‌دبستان و دبستان مفید، است، دامنه‌ی محتوایی ریاضی و ملاکهای دستیابی به اهداف (پیش تا شش)، به لطف و تلاش مبتنی بر مطالعه، تجربههای معلمی و گفتگوهای کارگروه آموزش ریاضی دبستان‌های مفید در طول سال تحصیلی ۰۱-۱۴۰۰ آماده شده و در اختیار مخاطبان قرار گرفته است.
امید این است که این نوشته، مورد استفاده‌ی همه‌ی علاقه‌مندان از جمله معلمان دورهی دبستان، قرار گیرد، به غنی‌تر شدن کلاس‌های ریاضی دورهی دبستان کمک کند و فرصتی برای ریاضی‌ورزی و لذت بردن از ریاضیاتِ به‌هم پیوسته و معنادار برای کودکان این دوره فراهم آورد.
از حمایت‌های «مجتمع مفید»، «دبستان‌های مفید» و «گروه الگوی آموزشی دبستان‌های مفید» که امکان تشکیل «کارگروه آموزش ریاضی» و ارتباط میان مدارس و کارگروه را فراهم کردند، سپاسگزارم.
ویژگیهای نوشته حاضر
متن حاضر، دامنه‌ی محتوایی ریاضی و ملاکهای دستیابی به اهداف (پیش تا شش) یا به عبارت دیگر، دانش و مهارت‌هایی ریاضی را که انتظار می‌رود دانشآموزان در هر پایه از پیش‌دبستان تا ششم دبستان کسب کنند، نشان دهند و در کار کلاسی و کاوش‌های ریاضی به کار بَرَند، توضیح می‌دهد.
در این نوشته، دو دسته ملاک برای هر پایه در هر یک از حوزههای محتوایی ریاضی، فهرست شده است:
ملاکهای کلی به طور کلی دانش و مهارت‌هایی را توصیف می‌کند که انتظار می‌رود دانشآموزان در پایان هر پایه نشان دهند.
ملاک‌ها به تفصیل دانش و مهارت‌های مورد انتظار را با جزئیات بیشتری توصیف می‌کند و ذیل عنوان‌هایی دسته‌بندی می‌شوند که جنبه‌های خاصی از دانش و مهارت‌های مورد نیاز را منعکس میکنند و می‌توانند راهنمایی برای معلمان، هنگام طراحی فعالیت‌های یادگیری برای دانشآموزان باشند. البته سازمان‌دهی ملاک‌ها در این دسته‌ها به این معنی نیست که ملاکهای هر گروه، مستقل از ملاکهای دیگر به دست می‌آیند؛ دسته‌ها تنها برای کمک به معلمان برای تمرکز بر جنبه‌های خاصی از دانش و مهارت‌ها در هنگام طراحی مسیر یادگیری برای دانشآموزان و اجرای فعالیت‌های یادگیری مختلف است.
علاوه بر ملاکهای مشخص شده در هر حوزه‌ی محتوایی، در بخش آخر این نوشته، به ملاکهای کلی مهارت‌های یادگیری ریاضی پرداخته شده است. این ملاک‌ها می‌توانند در متن دیگری به تفصیل و با مثال‌های مختلف، توصیف شوند اما از این جهت در اینجا آمده‌اند که در همین نوشته، در توصیف ملاکهای دستیابی به اهداف موضوعی، رد پای آنها مشاهده میشود.
در تمام این نوشته، به این توجه شده است که کودک با تجربههای غیر رسمی وارد دورهی دبستان میشود و نیازمند فرصتهایی است تا درک ریاضی خود را گسترش دهد و آمادهی به کارگیری آن شود. چنین توانمندیای، در کلاس قدرتمند ریاضی توسعه خواهد یافت. در کلاس قدرتمند ریاضی، این نگرش جاری است که ریاضی ارزشمند، مفید و در دسترس است و کودکان بر این باورند که تلاششان برای یادگیری ریاضی نتیجه خواهد داد. آنها همواره با انگیزه در حال تقلا برای طرح و حل مسئله هستند و خود را عامل و مالک دانشی که در کلاس تولید میشود، میدانند. در این کلاس، دانشآموزان سوال مىپرسند، روشهایی برای حل مسئله‌ها پیدا مىكنند، الگوها و روابط را جستجو مىكنند، فرضیه می‌سازند، ایده‌های خود را به شیوه‌های مختلف و منعطفی بازنمایی میکنند ، میان ایده‌های خود و دیگران اتصال برقرار میكنند، تعميم مىدهند، استدلال میکنند، در گفتگوی ریاضی از ایده‌های خود دفاع میکنند و ایده‌های دوستانشان را مورد ارزیابی قرار میدهند، روى نتايج بازانديشى مىكنند و هویت ریاضی خود را شکل میدهند. دانش آموزان در چنین محیطی که محیطی غنی برای یادگیری است، به طور مداوم به تولید دانش می‌پردازند و نه تنها درک و مهارت‌های خود را توسعه میدهند، بلکه در گسترش درک و مهارت‌های دوستان خود نیز تاثیرگذارند. چنین دانش آموزانی در رویارویی با مسئله‌ای جدید، میدانند که راه حل‌های مختلفی میتوان برای حل آن یافت و هیچ گاه به این فکر نمی‌کنند و نمی‌گویند که «این را نخوانده ایم! یا معلممان درس نداده!» آنها با تکیه بر شبکه‌ی قوی از روابط و اتصال‌های بین ایده‌های مختلف ریاضی که ساخته‌اند و به طور مداوم در حال توسعه‌ی آن هستند، به استقبال مسئله‌‌ی جدید می روند و با این نگرش که ریاضی شدنی است و من می‌توانم آن را انجام دهم، برای حل آن تقلا میکنند و شیرینی لحظه‌های کشف را با تمام وجود می‌چشند.
رسیدن به ملاک‌هایی که برای دستیابی به اهداف در این نوشته در هر حوزه‌ی محتوایی توصیف شده است، نیازمند قرار گرفتن کودک در کلاسی از این جنس است و امید می‌رود که مطالعه‌ی این نوشته همراه با مطالعه‌ی منابع دیگر و توجه پژوهشگرانه و بازاندیشانه به تجربههای معلمی، به معلمان کمک کند تا بتوانند اینگونه و بهتر از آن، از یادگیری کودکان پشتیبانی کنند.
ایده‌ی استفاده از این متن در طراحی مسیر یادگیری این است که طراحان، اعم از معلمان و راهبران آموزشی، هنگام طراحی مسیر، به دامنه‌ی محتوایی ریاضی (و اگر می‌خواهند تلفیقی از موضوعات را داشته باشند، به دامنه‌ی محتوایی ریاضی و موضوعهای دیگر) مراجعه و دامنه‌ی مورد نظرشان را انتخاب کنند، اهداف مسیر یادگیری مورد نظرشان را به صورت کلی‌تر تعیین نمایند و سپس برای تعیین ملاکهای دستیابی به اهداف، به این متن (و متن‌های مرتبط با موضوعات دیگر) برگردند.
از جمله ویژگیهای این نوشته، میتوان به موارد زیر اشاره کرد:
در جدول مربوط به هر حوزه‌ی محتوایی، دامنه‌ی محتوایی هر حوزه، توالی و چگونگی گسترش آن قابل مشاهده است.
امکان مطالعه‌ی حوزههای محتوایی در هر پایه، از پیش‌دبستان تا پایان دورهی دبستان را فراهم شده است که مي‌تواند هنگام طراحی مسیر یادگیری برای معلمان یاریبخش باشد.
امکان مطالعه‌ی روند رشد دانش مفهومی ریاضی دانشآموزان از پیش‌دبستان تا پایان دورهی دبستان در هر حوزه‌ی محتوایی فراهم شده است و بدین ترتیب، امکان ارزشیابی دقیق‌تر دانشآموزان با توجه به قابل مشاهده بودن ملاکهای پایههای قبل و بعد و امکان تبادل نظر درباره‌ی ملاکهای هر پایه و هماهنگی میان معلمان پایههای مختلف، ایجاد گردیده است.
رویکرد آموزشی «کارگروه آموزش ریاضی دبستان‌های مفید» نسبت به آموزش ریاضی، در این متن، شفاف میشود و در صورت لزوم قابل پی‌گیری است.
در این متن، به جاری بودن فرآیندهای ریاضی، در توسعه‌ی هر حوزه‌ی محتوایی در همه‌ی پایه‌ها توجه شده است و ملاکهای هر پایه را از یک سو هماهنگ با توانایی دانشآموزان در به‌کار گیری فرآیندها و از سوی دیگر به عنوان فرصتی برای توسعه‌ی فرآیندها، توصیف شده است.
اهداف ارزشمند کتابهای درسی هر پایه در دورهی دبستان پوشش داده شده است و با پرداختن به ملاکهای ارزشمند و جدا کردن آنها از بقیهی موضوعهای طرح شده در کتابهای درسی هر پایه، امکان تمرکز بیشتر روی این ملاک‌ها فراهم گردیده است. همچنین در این متن به برخی موضوعاتی که کمتر به آنها در کتاب درسی پرداخته شده، از جمله ساختن و خلق روش‌های ابداعی توسط دانشآموزان، استفاده از تقریب‌های مناسب با توجه به موقعیت و اعداد مسئله، تخمین و توسعه‌ی مهارت‌های دانشآموزان در این زمینه، مورد توجه ویژه بوده است.
در توصیف ملاک‌ها، از مثال‌های متنوعی برای نشان دادن حوزه‌ی خاص یادگیری، نوع مهارت، عمق و سطح پیچیدگی مورد انتظار استفاده شده است که مي‌تواند هنگام طراحی فعالیت‌های یادگیری و ارزشیابی، برای معلمان کمک‌کننده باشد.
برای تدوین آن از برنامه درسی‌هایی با رویکرد مشابه و تجربه‌ی زیسته‌ی معلمان استفاده شده است. با اتکاء به این منابع، ملاکهای هر پایه هماهنگ با سطح شناختی دانشآموزان و پیش‌نیازهای دانشی و مهارتی که در پایههای قبلی به آنها پرداخته شده، توصیف گردیده است.
گرچه قصد این متن، نوشتن مسیرهای یادگیری نبوده و تنها ملاکهای دستیابی به اهداف یادگیری در آن آمده است، ولی با توجه به توالی ملاک‌ها ، قابلیت خوبی برای روشن کردن مسیرهای یادگیری در موضوعهای مختلف را دارد.
این متن به سبب به کاربردن واژه‌های تخصصی ریاضی و آموزش ریاضی، امکان توسعه‌ی دایره‌ی واژگان مربیان در این زمینه‌ها را فراهم کرده است و ظرفیت مناسبی برای توسعه‌ی دانش آموزش ریاضی مربیان، به همراه دارد.
اعداد و عملیات در پایههای پیش‌دبستان تا ششم دبستان
درک عددی، به درک کلی از اعداد و عملیات و توانایی به‌کار بردن این درک با استفاده از روش‌های منعطف برای ارزیابی‌های ریاضی و توسعه‌ی راهبردهای مفید برای حل مسئله‌ها، اطلاق میشود. در این حوزه‌ی یادگیری، دانشآموزان درک خود از اعداد را با یادگیری روش‌های مختلف نمایش و روابط بین اعداد، توسعه میدهند. آنها درکشان از شمارش، اندازه‌گیری و همچنین چهار عمل اصلی را توسعه میدهند و با استفاده از ابزارها و راهبردهای متنوع، محاسبات را به روانی انجام میدهند، یعنی راهبرد مناسب انتخاب و آن را به صورت منعطف، دقیق و کارآمد اجرا میکنند.
درک توسعه یافته از اعداد، شامل فهم روابط مختلفی است، از جمله کمتر و بیشتر، ارزش مکانی، ارتباط بین اعداد و اندازههای واقعی در محیط اطراف. تجربه نشان می‌دهد که دانشآموزان این روابط را بطور خودکار درک نمی‌کنند؛ طیف گسترده‌ای از فعالیت‌ها و کاوشگری‌ها، همراه با راهنمایی معلم، به دانشآموزان کمک می‌کند تا درک عددی‌شان را بسازند. درک عددی به آنها امکان می‌دهد که ریاضیات را درک کنند و بدانند کی و چگونه مفاهیم، راهبردها و عملیات را هنگام حل مسائل به صورتی کارآمد، به‌کار گیرند.
اعداد و عملیات- ملاک‌ها به تفصیل
هندسه در پایههای پیش‌دبستان تا ششم دبستان
درک فضایی، آگاهی شهودی از محیط اطراف و اشیاء موجود در آن است. حوزه‌ی هندسه بر درک فضایی استوار است و به ما کمک می‌کند اجسام و روابط میان آنها را بازنمایی و توصیف کنیم. درک روابط فضایی و استفاده از زبان هندسی، از درک دانشآموزان از اعداد و اندازه‌گیری نیز پشتیبانی می‌کند.
درک فضایی برای درک بسیاری از جنبه‌های هندسی جهان، ضروری است. بینش و شهود در مورد ویژگیهای شکل‌های دو بعدی و سه بعدی، روابط میان شکل‌ها و اثری که تبدیلات رو شکل‌ها دارند، جنبه‌های مهم درک فضایی هستند. دانش آموزان درک فضایی خود را با تجسم، ترسیم و مقایسه‌ی شکل‌های دو بعدی و سه بعدی در موقعیت‌های مختلف توسعه می دهند.
در این حوزه‌ی یادگیری، دانشآموزان یاد می‌گیرند که بین ویژگیهای ظاهری و هندسیِ یک شکل تمایز قائل شوند و ویژگیهای هندسیِ دسته‌شکل‌های دو بعدی و سه بعدی را بررسی کنند. کاوش درباره‌ی مفاهیم و مهارت‌های ریاضی مربوط به مکان‌یابی و حرکت نیز از فعالیت‌های این حوزه‌ی یادگیری است.
هندسه- ملاکهای کلی
هندسه- ملاک‌ها به تفصیل
اندازه‌گیری در پایههای پیش‌دبستان تا ششم دبستان
مفاهیم و مهارت‌های اندازه گیری مستقیماً در دنیایی که دانشآموزان در آن زندگی میکنند قابل استفاده هستند. بسیاری از این مفاهیم اندازه‌گیری در زمینه‌های موضوعی دیگر مانند علوم، مطالعات اجتماعی و تربیت بدنی نیز بکار می روند.
در این حوزه‌ی محتوایی، دانش آموزان با ویژگیهای قابل اندازه‌گیری اشیاء و واحدها و فرآیندهای دخیل در اندازه‌گیری آشنا می‌شوند. دانشآموزان یادگیری اندازه‌گیری را با کار با واحدهای غیر استاندارد، شروع میکنند و سپس به سمت استفاده از واحدهای استاندارد برای اندازه‌گیری کمیت‌هایی مانند طول، مساحت، حجم، گنجایش، جرم، زمان و دما پیش می‌روند. آنها اندازههای معیاری را شناسایی میکنند تا کمک آنها بزرگی واحدهای استاندارد مختلف را تشخیص دهند و از آن در تخمین اندازه‌ها و انتخاب واحد مناسب برای اندازه‌گیری استفاده کنند. کاوش در مورد رابطه‌ی بین واحدهای اندازه‌گیری و رابطه‌های محاسبه‌ی محیط، مساحت و حجم شکل‌های مختلف نیز به دانشآموزان کمک می‌کند تا درکشان از اندازه‌گیری را توسعه دهند. تجربه‌ی واقعی در تخمین و حل مسئله‌های مرتبط با اندازه‌ها، نیاز استفاده از ابزار اندازه‌گیری و به‌کار گیری درک خود از روابط مرتبط با اندازه‌گیری، از جمله روابط بین واحدهای اندازه‌گیری را برای دانشآموزان آشکار می‌کند.
همانطور که درک و مهارت‌های دانشآموزان در حوزههای اعداد و هندسه رشد می‌کند، میتوان انتظار داشت که از آنها در حل مسئله‌های پیچیده‌تر اندازه‌گیری استفاده کنند و توانایی خود را در هر سه حوزه رشد دهند.
اندازه‌گیری- ملاکهای کلی
اندازه‌گیری- ملاک‌ها به تفصیل
جبر در پایههای پیش‌دبستان تا ششم دبستان
یکی از موضوعات اصلی در ریاضی، مطالعه‌ی الگوها و روابط یا به عبارتی حوزه‌ی یادگیری جبر است. این مطالعه از دانشآموزان می‌خواهد که الگوها را شناسایی و توصیف کنند، تعمیم دهند و مدل‌هایی ریاضی برای شبیه‌سازی رفتار پدیده‌های دنیای واقعی که الگوهای قابل مشاهده را نشان میدهند، بسازند.
دانش آموزان ابتدا الگوهای تکرارشونده را در شکل‌ها، طرح‌ها، حرکت‌ها و مجموعه‌ای از اعداد شناسایی میکنند. در ادامه مطالعه و کاوش درباره‌ی الگوها با بررسی الگوهای افزایشی و کاهشی خطی و غیر خطی ادامه می‌یابد و دانشآموزان روش‌های خود برای توصیفِ تعمیم یافته‌ی الگوها را توسعه میدهند. در پایههای پایین‌تر، دانشآموزان از توصیفات کلامی و جدول‌ها برای بازنمایی روابطی که الگوها را می‌سازند، استفاده میکنند و در ادامه با انجام فعالیت‌ها و کاوشگری‌ها، چگونگی تغییر الگوها را بررسی میکنند تا درکی از متغیرها به‌عنوان کمیت‌های در حال تغییر پیدا کنند. دانشآموزان در پایههای بالاتر، الگوها را به صورت نمودار یا با استفاده از عبارت ریاضی بازنمایی میکنند و از این بازنمایی‌ها برای پیش‌بینی و حل مسئله‌های مرتبط با الگوها استفاده میکنند.
تمرکز دوم این حوزه‌ی یادگیری بر روابط کلی میان عملیات و مفهوم برابری است. دانشآموزان به روش‌های منعطفِ استفاده از اعداد برای نشان دادن مقادیر مساوی توجه میکنند و درک خود از تساوی به معنی برابری را توسعه میدهند. حل مسئله‌های عددی و یافتن روش‌های ابداعی مبتنی بر ویژگیهای عملیات، فرصتهایی را برای دانشآموزان فراهم می کند تا توانایی خود در تعمیم دادن و عبور از حساب به جبر را توسعه دهند.
جبر- ملاکهای کلی
جبر- ملاک‌ها به تفصیل
آمار و احتمال در پایههای پیش‌دبستان تا ششم دبستان
یکی از موضوعات اصلی در ریاضی، مطالعه‌ی الگوها و روابط یا به عبارتی حوزه‌ی یادگیری جبر است. این مطالعه از دانشآموزان می‌خواهد که الگوها را شناسایی و توصیف کنند، تعمیم دهند و مدل‌هایی ریاضی برای شبیه‌سازی رفتار پدیده‌های دنیای واقعی که الگوهای قابل مشاهده را نشان میدهند، بسازند.
دانش آموزان ابتدا الگوهای تکرارشونده را در شکل‌ها، طرح‌ها، حرکت‌ها و مجموعه‌ای از اعداد شناسایی میکنند. در ادامه مطالعه و کاوش درباره‌ی الگوها با بررسی الگوهای افزایشی و کاهشی خطی و غیر خطی ادامه می‌یابد و دانشآموزان روش‌های خود برای توصیفِ تعمیم یافته‌ی الگوها را توسعه میدهند. در پایههای پایین‌تر، دانشآموزان از توصیفات کلامی و جدول‌ها برای بازنمایی روابطی که الگوها را می‌سازند، استفاده میکنند و در ادامه با انجام فعالیت‌ها و کاوشگری‌ها، چگونگی تغییر الگوها را بررسی میکنند تا درکی از متغیرها به‌عنوان کمیت‌های در حال تغییر پیدا کنند. دانشآموزان در پایههای بالاتر، الگوها را به صورت نمودار یا با استفاده از عبارت ریاضی بازنمایی میکنند و از این بازنمایی‌ها برای پیش‌بینی و حل مسئله‌های مرتبط با الگوها استفاده میکنند.
تمرکز دوم این حوزه‌ی یادگیری بر روابط کلی میان عملیات و مفهوم برابری است. دانشآموزان به روش‌های منعطفِ استفاده از اعداد برای نشان دادن مقادیر مساوی توجه میکنند و درک خود از تساوی به معنی برابری را توسعه میدهند. حل مسئله‌های عددی و یافتن روش‌های ابداعی مبتنی بر ویژگیهای عملیات، فرصتهایی را برای دانشآموزان فراهم می کند تا توانایی خود در تعمیم دادن و عبور از حساب به جبر را توسعه دهند.
آمار و احتمال- ملاکهای کلی
آمار و احتمال- ملاک‌ها به تفصیل
حوزههای فرآیندی در دوره اول و دوم دبستان
حوزههای فرآیندی و مهارت‌های ریاضی مانند چتری بر یادگیری حوزههای محتوایی اثر گذارند و رد پای آنها در توصیف ملاک‌ها در همه‌ی حوزههای محتوایی این نوشته قابل مشاهده است.
معلمان باید مطمئن شوند که دانشآموزان در هر حوزه‌ی محتوایی ریاضی، توانایی خود را برای به‌کار گیری این مهارت‌ها به روش‌های مناسب، توسعه میدهند. این مهارت‌ها، شامل «فرآیندهای ریاضی (یعنی حل مسئله، بازنمایی، استدلال، درک اتصال‌های درون و بیرون ریاضی و برقراری ارتباط برای آشنایی با گفتمان ریاضی)» نیز هست که هم هدف یادگیری ریاضی هستند و هم مهارت در به‌کار گرفتن آنها، لازمه‌ی یادگیری حوزههای محتوایی ریاضی است و دانشآموزان باید آنها را در طول پرداختن به حوزههای محتوایی ریاضی، در هر دوره، یاد بگیرند و استفاده کنند.
این بخش، شامل این مهارت‌ها است:
- حل مسئله
- استدلال و اثبات
- برقراری ارتباط برای آشنایی با گفتمان ریاضی
- درک اتصال‌ها
- بازنمایی
- روانی در رویه‌ها و انتخاب ابزار و راهبردهای محاسباتی
- بازاندیشی
حوزههای فرآیندی- ملاکهای کلی
گروه تألیف: زهره پندی، سمیه شعبانی، سپیده نوروزی، نگار وکیلی و اطهر فیروزیان